平面角范文10篇-ag尊龙app

平面角范文篇1

α、β是由出发的两个半平面,o是l上任意一点，ocα，且oc⊥l；cdβ，且od⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，若在oc上任取上一点a，作ab⊥od于b,则由特征（2）知ab⊥β.通过l、oa、ob、ab，之间的关系，便得到另一特征；

（3）：体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征（1）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

特征（2）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

特征（3）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段ab，由b作ob⊥l于o，连oa，由三垂线定理可知oa⊥l；或由a作oa⊥l于o，连ob。由三垂线逆定理可知ob⊥l。此时，∠aob即为二面角α-l-β的平面角。

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

3二面角的平面角的定位分析

［例1］：已知e是矩形abcd边cd的中点，且，cd=2，bc=1，现沿ae将△dae折起至△d′ae，使得d′到b、c两点的距离相等，求二面角d′-bc-a的大小。

解析：取ae中点p，bc中点q．则可得pq⊥bc，又由d′b=d′c，得d′q⊥bc，

∴∠d′qp是二面角d′-bc-a的平面角。

经计算得：∠d′qp＝23

找“点”，由定义确定二面角的平面角。

［例2］：矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线ac把△abc折起，使点b在平面adc内的射影b′恰好落在ad上，求二面角b-ac-d的大小。

解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

在平面图形中过b作be⊥ac交ac于o、交ad于e，则折叠后ob、oe与ac的垂直关系不变．但ob与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱ac垂直。由特征（2）知，面boe与面bac、面dac的交线ob与oe所成的角∠boe，即为所求二面角的平面角。

另外，点b在面dac上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在ad上,所以e点就是b′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

经计算：ob=ab·bcac=3×45=125，ao=ab2ac=95，oe=ao·cdad=2720，

在rt△beo中，设∠boe＝θ，则cosθ=oeob=916，

∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角b-ac-d为arccos916，

通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。

由“垂线段”定位二面角的平面角。

［例3］：已知二面角α-a-β为，pa⊥α于a，pb⊥β于b，且pa＝8cm，pb＝10cm．求p点到a的距离。

解析：过pa、pb作平面γ，分别与α、β交于ao、bo，

由pa⊥α，aα，知pa⊥a，又由pb⊥β，aβ，知pb⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵ao，bo，∴a⊥ao，a⊥bo，

∴∠aob为二面角α-a-β的平面角，即∠aob＝120°，

连po，由po，得a⊥po．∴po的长为p点到a的距离。

经计算：ao＝43（cm），po＝pa2 ao2=82 （43）2=47（cm）．

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

［例4］：在正方体abcd-a′b′c′d′中，棱长为2，e为bc的中点．求面b′d′e与面bb′c′c所成的二面角的大小。

解析：面b′d′e与面bb′c′c构成两个二面角，由特征（2）知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征（3）,我们只须由c′(或d′)作b′e的垂线交b′e于h，然后连结hd′(或hc′),即得面b′d′e与面bb′c′c所成二面角的平面角∠c′hd′(三垂线定理)。

经计算可得：h′c′＝455，在rt△d′c′h中，∠d′hc′=d′c′h′c′=52，

故所求的二面角角为arctan52或π-arctan52．

二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。

［例5］：在正方体abcd-a1b1c1d1中，e是cc1的中点，求截面ad1e与底面abcd所成角的正切值。

解析：图中截面ad1e与底面abcd只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。

延长dc、d1e交于f，连af，得截面ad1e与底面abcd相交所得棱af，af交bc于g，过c作ch⊥af于h，连eh，

∵ec⊥面abcd，ch⊥af，∴eh⊥af（三垂线定理）

∴∠ehc即为所求截面ad1e与底面abcd所成二面角的平面角．

可设正方体棱长为a，经计算得：ec＝cg＝a2，cf＝a，gf＝52a，ch＝，55a

∴tan∠ehc＝ecch=52，

即所求二面角的正切值为52．

［另］：△d1fa在底面abcd的射影是△dfa，

s△dfa=12df×da=a2，又d1a＝2，s△d1fa=12d1a×322a=32a2，

由射影面积法，所求角（记为θ）的余弦值为cosθ=s△dfas△d1fa=23，

则所求二面角的正切值为52。

［另］：还可用向量法求二面角的平面角。

定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。

平面角范文篇2

一、重温二面角的平面角的定义

如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,o是ι上任意一点,oc

α，且oc⊥ι；cdβ，且od⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在oc上任取上一点a，作ab⊥od垂足为b,那么

由特征ⅱ可知ab⊥β.突出ι、oc、od、ab，这便是另一特征；

ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1已知正三棱锥v—abc侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以连结ch交ab于o，且oc⊥ab，则∠voc为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取ab的中点o为其平面角的顶点，而且使背景突出在面voc上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线bd把△abd折起，

使点a在平面bcd上的射影a′落在bc上，求二面角a—bc-—c的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过a作ae⊥bd交bd于o、交bc于e，则折叠后oa、oe与bd的垂直关系不变。但oa与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征ⅱ可知，面aoe与面abd、面cbd的交线oa与oe所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在bc上,所以e点就是a′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，ao=ab·ad/bd=3*4/5=12/5，oa′=oe=bo·tgc∠cbd，而bo=ab2/bd=9/5,tg∠cbd，故oa′=27/20。在rt△aa′o中，∠aa′o=90°所以cos∠aoa′=a′o/ao=9/16，ty∠aoa′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段ab，那么过垂足b作ι的垂线交ι于o，连结ao，由三垂线定理可知oa⊥ι；或者由a作ι的垂线交ι于o，连结ob，由三垂线定理逆定理可知ob⊥ι，此时，∠aob就是二面角α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为2，e为bc的中点。求面b1d1e与面积bb1c1c所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面b1d1e与面bb1c1c构成两个二面角，

由特征ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征ⅲ监控,背景中的线段c1d1会使眼睛一亮,我们只须由c1(或d1)作b1e的垂线交b1e于o,然后连结od1(或oc1),即得面d1be与面cc1b1e所成二面角的平面角∠c1od1，如图，计算可得c1o=4*51/2/5。

在rt△d1c1o中，tg∠c1od=d1c1/c1o=51/2/2。

故所求的二面角角为arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

如图，过两个几何体的高线vp、vq的垂足p、q分别作bc的垂线，则垂足重合于o，且o为bc的中点，op延长过a，oq延长交ed于r。由特征ⅲ，∠aor为二面角a—bc—r平面角，结合特征ⅰ、ⅱ，可得vaor为平行四边形，va//be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4已知rt△abc的两直角边ac=2，bc=3，p为斜边上一

点，沿cp将此直角三角形折成直二面角a—cp—b，当ab=71/2时，求二面角p—ac—b的大小。

作法一：∵a—cp—b为直角二面角，

∴过b作bd⊥cp交cp的延长线于d，则bd⊥dmapc。

∴过d作de⊥ac，垂足为e，连be。

∴∠deb为二面角a—cp—b的平面角。

作法二：过p点作pd′⊥pc交bc于d′，则pd′⊥面apc。

∴过d′作d′e′⊥ac，垂足为e′，边pe′，

∴∠d′e′p为二面角p—ac—b的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

平面角范文篇3

α、β是由出发的两个半平面,o是l上任意一点，ocα，且oc⊥l；cdβ，且od⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，若在oc上任取上一点a，作ab⊥od于b,则由特征（2）知ab⊥β.通过l、oa、ob、ab，之间的关系，便得到另一特征；

（3）：体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征（1）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

特征（2）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

特征（3）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段ab，由b作ob⊥l于o，连oa，由三垂线定理可知oa⊥l；或由a作oa⊥l于o，连ob。由三垂线逆定理可知ob⊥l。此时，∠aob即为二面角α-l-β的平面角。

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

3二面角的平面角的定位分析

［例1］：已知e是矩形abcd边cd的中点，且，cd=2，bc=1，现沿ae将△dae折起至△d′ae，使得d′到b、c两点的距离相等，求二面角d′-bc-a的大小。

解析：取ae中点p，bc中点q．则可得pq⊥bc，又由d′b=d′c，得d′q⊥bc，

∴∠d′qp是二面角d′-bc-a的平面角。

经计算得：∠d′qp＝23

找“点”，由定义确定二面角的平面角。

［例2］：矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线ac把△abc折起，使点b在平面adc内的射影b′恰好落在ad上，求二面角b-ac-d的大小。

解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

在平面图形中过b作be⊥ac交ac于o、交ad于e，则折叠后ob、oe与ac的垂直关系不变．但ob与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱ac垂直。由特征（2）知，面boe与面bac、面dac的交线ob与oe所成的角∠boe，即为所求二面角的平面角。

另外，点b在面dac上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在ad上,所以e点就是b′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

经计算：ob=ab·bcac=3×45=125，ao=ab2ac=95，oe=ao·cdad=2720，

在rt△beo中，设∠boe＝θ，则cosθ=oeob=916，

∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角b-ac-d为arccos916，

通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。由“垂线段”定位二面角的平面角。

［例3］：已知二面角α-a-β为，pa⊥α于a，pb⊥β于b，且pa＝8cm，pb＝10cm．求p点到a的距离。

解析：过pa、pb作平面γ，分别与α、β交于ao、bo，

由pa⊥α，aα，知pa⊥a，又由pb⊥β，aβ，知pb⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵ao，bo，∴a⊥ao，a⊥bo，

∴∠aob为二面角α-a-β的平面角，即∠aob＝120°，

连po，由po，得a⊥po．∴po的长为p点到a的距离。

经计算：ao＝43（cm），po＝pa2 ao2=82 （43）2=47（cm）．

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

［例4］：在正方体abcd-a′b′c′d′中，棱长为2，e为bc的中点．求面b′d′e与面bb′c′c所成的二面角的大小。

解析：面b′d′e与面bb′c′c构成两个二面角，由特征（2）知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征（3）,我们只须由c′(或d′)作b′e的垂线交b′e于h，然后连结hd′(或hc′),即得面b′d′e与面bb′c′c所成二面角的平面角∠c′hd′(三垂线定理)。

经计算可得：h′c′＝455，在rt△d′c′h中，∠d′hc′=d′c′h′c′=52，

故所求的二面角角为arctan52或π-arctan52．

二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。

［例5］：在正方体abcd-a1b1c1d1中，e是cc1的中点，求截面ad1e与底面abcd所成角的正切值。

解析：图中截面ad1e与底面abcd只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。

延长dc、d1e交于f，连af，得截面ad1e与底面abcd相交所得棱af，af交bc于g，过c作ch⊥af于h，连eh，

∵ec⊥面abcd，ch⊥af，∴eh⊥af（三垂线定理）

∴∠ehc即为所求截面ad1e与底面abcd所成二面角的平面角．

可设正方体棱长为a，经计算得：ec＝cg＝a2，cf＝a，gf＝52a，ch＝，55a

∴tan∠ehc＝ecch=52，

即所求二面角的正切值为52．

［另］：△d1fa在底面abcd的射影是△dfa，

s△dfa=12df×da=a2，又d1a＝2，s△d1fa=12d1a×322a=32a2，

由射影面积法，所求角（记为θ）的余弦值为cosθ=s△dfas△d1fa=23，

则所求二面角的正切值为52。

［另］：还可用向量法求二面角的平面角。

定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。

平面角范文篇4

一、重温二面角的平面角的定义

如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,o是ι上任意一点,oc

α，且oc⊥ι；cdβ，且od⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在oc上任取上一点a，作ab⊥od垂足为b,那么

由特征ⅱ可知ab⊥β.突出ι、oc、od、ab，这便是另一特征；

ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1已知正三棱锥v—abc侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以连结ch交ab于o，且oc⊥ab，则∠voc为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取ab的中点o为其平面角的顶点，而且使背景突出在面voc上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线bd把△abd折起，

使点a在平面bcd上的射影a′落在bc上，求二面角a—bc-—c的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过a作ae⊥bd交bd于o、交bc于e，则折叠后oa、oe与bd的垂直关系不变。但oa与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征ⅱ可知，面aoe与面abd、面cbd的交线oa与oe所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在bc上,所以e点就是a′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，ao=ab·ad/bd=3*4/5=12/5，oa′=oe=bo·tgc∠cbd，而bo=ab2/bd=9/5,tg∠cbd，故oa′=27/20。在rt△aa′o中，∠aa′o=90°所以cos∠aoa′=a′o/ao=9/16，ty∠aoa′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段ab，那么过垂足b作ι的垂线交ι于o，连结ao，由三垂线三、三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

如图，过两个几何体的高线vp、vq的垂足p、q分别作bc的垂线，则垂足重合于o，且o为bc的中点，op延长过a，oq延长交ed于r。由特征ⅲ，∠aor为二面角a—bc—r平面角，结合特征ⅰ、ⅱ，可得vaor为平行四边形，va//be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4已知rt△abc的两直角边ac=2，bc=3，p为斜边上一

点，沿cp将此直角三角形折成直二面角a—cp—b，当ab=71/2时，求二面角p—ac—b的大小。

作法一：∵a—cp—b为直角二面角，

∴过b作bd⊥cp交cp的延长线于d，则bd⊥dmapc。

∴过d作de⊥ac，垂足为e，连be。

∴∠deb为二面角a—cp—b的平面角。

作法二：过p点作pd′⊥pc交bc于d′，则pd′⊥面apc。

∴过d′作d′e′⊥ac，垂足为e′，边pe′，

∴∠d′e′p为二面角p—ac—b的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。定理可知oa⊥ι；或者由a作ι的垂线交ι于o，连结ob，由三垂线定理逆定理可知ob⊥ι，此时，∠aob就是二面角α—ι—β的平面角，

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为2，e为bc的中点。求面b1d1e与面积bb1c1c所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面b1d1e与面bb1c1c构成两个二面角，

由特征ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征ⅲ监控,背景中的线段c1d1会使眼睛一亮,我们只须由c1(或d1)作b1e的垂线交b1e于o,然后连结od1(或oc1),即得面d1be与面cc1b1e所成二面角的平面角∠c1od1，如图，计算可得c1o=4*51/2/5。

平面角范文篇5

一、重温二面角的平面角的定义

如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,o是ι上任意一点,oc

α，且oc⊥ι；cdβ，且od⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在oc上任取上一点a，作ab⊥od垂足为b,那么

由特征ⅱ可知ab⊥β.突出ι、oc、od、ab，这便是另一特征；

ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1已知正三棱锥v—abc侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以连结ch交ab于o，且oc⊥ab，则∠voc为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取ab的中点o为其平面角的顶点，而且使背景突出在面voc上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线bd把△abd折起，

使点a在平面bcd上的射影a′落在bc上，求二面角a—bc-—c的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过a作ae⊥bd交bd于o、交bc于e，则折叠后oa、oe与bd的垂直关系不变。但oa与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征ⅱ可知，面aoe与面abd、面cbd的交线oa与oe所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在bc上,所以e点就是a′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，ao=ab·ad/bd=3*4/5=12/5，oa′=oe=bo·tgc∠cbd，而bo=ab2/bd=9/5,tg∠cbd，故oa′=27/20。在rt△aa′o中，∠aa′o=90°所以cos∠aoa′=a′o/ao=9/16，ty∠aoa′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段ab，那么过垂足b作ι的垂线交ι于o，连结ao，由三垂线定理可知oa⊥ι；或者由a作ι的垂线交ι于o，连结ob，由三垂线定理逆定理可知ob⊥ι，此时，∠aob就是二面角α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为2，e为bc的中点。求面b1d1e与面积bb1c1c所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面b1d1e与面bb1c1c构成两个二面角，

由特征ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征ⅲ监控,背景中的线段c1d1会使眼睛一亮,我们只须由c1(或d1)作b1e的垂线交b1e于o,然后连结od1(或oc1),即得面d1be与面cc1b1e所成二面角的平面角∠c1od1，如图，计算可得c1o=4*51/2/5。

在rt△d1c1o中，tg∠c1od=d1c1/c1o=51/2/2。

故所求的二面角角为arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

如图，过两个几何体的高线vp、vq的垂足p、q分别作bc的垂线，则垂足重合于o，且o为bc的中点，op延长过a，oq延长交ed于r。由特征ⅲ，∠aor为二面角a—bc—r平面角，结合特征ⅰ、ⅱ，可得vaor为平行四边形，va//be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4已知rt△abc的两直角边ac=2，bc=3，p为斜边上一

点，沿cp将此直角三角形折成直二面角a—cp—b，当ab=71/2时，求二面角p—ac—b的大小。

作法一：∵a—cp—b为直角二面角，

∴过b作bd⊥cp交cp的延长线于d，则bd⊥dmapc。

∴过d作de⊥ac，垂足为e，连be。

∴∠deb为二面角a—cp—b的平面角。

作法二：过p点作pd′⊥pc交bc于d′，则pd′⊥面apc。

∴过d′作d′e′⊥ac，垂足为e′，边pe′，

∴∠d′e′p为二面角p—ac—b的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

平面角范文篇6

一、重温二面角的平面角的定义

如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,o是ι上任意一点,oc

α，且oc⊥ι；cdβ，且od⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠cod是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：

ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在oc上任取上一点a，作ab⊥od垂足为b,那么

由特征ⅱ可知ab⊥β.突出ι、oc、od、ab，这便是另一特征；

ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1已知正三棱锥v—abc侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以连结ch交ab于o，且oc⊥ab，则∠voc为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取ab的中点o为其平面角的顶点，而且使背景突出在面voc上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与

α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

例2矩形abcd，ab=3，bc=4，沿对角线bd把△abd折起，

使点a在平面bcd上的射影a′落在bc上，求二面角a—bc-—c的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在

于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过a作ae⊥bd交bd于o、交bc于e，则折叠后oa、oe与bd的垂直关系不变。但oa与oe此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征ⅱ可知，面aoe与面abd、面cbd的交线oa与oe所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直线上，又题设射影落在bc上,所以e点就是a′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，ao=ab·ad/bd=3*4/5=12/5，oa′=oe=bo·tgc∠cbd，而bo=ab2/bd=9/5,tg∠cbd，故oa′=27/20。在rt△aa′o中，∠aa′o=90°所以cos∠aoa′=a′o/ao=9/16，ty∠aoa′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。

特征ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段ab，那么过垂足b作ι的垂线交ι于o，连结ao，由三垂线定理可知oa⊥ι；或者由a作ι的垂线交ι于o，连结ob，由三垂线定理逆定理可知ob⊥ι，此时，∠aob就是二面角α—ι—β的平面角，如图。

由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。

例3在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为2，e为bc的中点。求面b1d1e与面积bb1c1c所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面b1d1e与面bb1c1c构成两个二面角，

由特征ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如

果思维由特征ⅲ监控,背景中的线段c1d1会使眼睛一亮,我们只须由c1(或d1)作b1e的垂线交b1e于o,然后连结od1(或oc1),即得面d1be与面cc1b1e所成二面角的平面角∠c1od1，如图，计算可得c1o=4*51/2/5。

在rt△d1c1o中，tg∠c1od=d1c1/c1o=51/2/2。

故所求的二面角角为arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三个特征的关系

以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是

分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的

消极作用，培养思维的广阔性和批判性。

例3将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的

一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？

这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？

如图，过两个几何体的高线vp、vq的垂足p、q分别作bc的垂线，则垂足重合于o，且o为bc的中点，op延长过a，oq延长交ed于r。由特征ⅲ，∠aor为二面角a—bc—r平面角，结合特征ⅰ、ⅱ，可得vaor为平行四边形，va//be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以这道题的答案应该是5个面！

2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却

表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？

由特征ⅲ，有了“垂线段”便可定位。

例4已知rt△abc的两直角边ac=2，bc=3，p为斜边上一

点，沿cp将此直角三角形折成直二面角a—cp—b，当ab=71/2时，求二面角p—ac—b的大小。

作法一：∵a—cp—b为直角二面角，

∴过b作bd⊥cp交cp的延长线于d，则bd⊥dmapc。

∴过d作de⊥ac，垂足为e，连be。

∴∠deb为二面角a—cp—b的平面角。

作法二：过p点作pd′⊥pc交bc于d′，则pd′⊥面apc。

∴过d′作d′e′⊥ac，垂足为e′，边pe′，

∴∠d′e′p为二面角p—ac—b的平面角。

再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。

平面角范文篇7

［关键词］高中数学;类比法

既然数学知识是一个持续发展的过程，那么，在这之中所出现的内容，必然会存在着相似之处。抓住这些相似之处，并将之作为探索新知的线索，就是适用类比法开展学习的基础。

一、类比相对内容，打造高效课堂

将知识进行类比的一个重要切入点就是知识的相对性。在高中数学领域，很多知识内容都是以相对的形式出现的，从知识结构到内容特点，都像是对称的一般。如果能够把握住这个规律，学生们便可以通过唤醒一个知识点而很自然地联想到另一个，让学习效率大增。例如：在对二面角的内容进行教学时，我发现，在其基本概念当中，存在着很多和平面角相对应的地方，于是借此展开类比，实现了很好的二面角教学效果。我从图形、定义、构成和表示法这四个角度分别进行类比：第一，从图形角度来看，二者的形态表示自然是不同的；第二，从定义的角度来看，平面角是指从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形；二面角则是指从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；第三，从构成的角度来看，平面角是由射线（半直线）——点（顶点）——射线构成的，二面角则是由半平面——线（棱）——半平面构成的；第四，从表示法的角度来看，平面角可以表示为∠aob，而二面角则可以表示为α-a-β。通过对相对内容进行类比，学生们在点与线、线与面、平面与空间的移转中全面掌握了二面角的概念，教学效果很好。将相对内容进行类比，为相似的数学知识之间搭建起了一座联系的桥梁。学生们只要掌握了其中的一个知识点，便可以很顺利地触发到与之相关的内容，大大减轻了每一次重新认知知识的精力负担，让新知的接受过程简单高效。

二、类比新旧内容，打造高效课堂

在高中数学的学习过程当中，新知识数量过多，出现形式零散，一直是禁锢学生高效学习的因素之一。为了能够解决这个问题，笔者从旧知识当中着眼，找到了很多与新知识挂钩的部分，并以之为引导，推动新知识的顺利呈现。例如：在对立体几何的内容展开教学时，为了让学生们能够从空间的角度建立起整体认识，我从平面几何这个旧的知识模块出发，以类比的方式建立其与立体几何之间的联系，如在平面几何中，若直线a∥b，b∥c，则a∥c，在空间几何中，若平面α∥β，β∥γ，则α∥γ；在平面几何中，若两平行线被第三条直线所截，则同位角相等，在空间几何中，若两平行平面与第三个平面都相交，则同位二面角相等；在平面几何中，任何三角形都有一个外接圆和一个内切圆，在立体几何中，任何四面体都有一个外接球和一个内切球。这几个内容的类比，向学生们清晰展现出了立体几何与平面几何的相似与不同。在这个思路的启发下，学生们还在学习的过程中，自己找到了更多可以进行类比的地方，为知识的学习灵活了思路，也丰富了资源。数学知识的探究是一个持续深化发展的过程，知识内容之间自然存在着普遍的联系。笔者在新旧之间进行类比教学，正是抓住了这个特点。从旧知识出发，往往能够延伸挖掘出新知识。而从新知识出发，则常常能够捕捉到旧知识的影子。在新旧知识的类比交替之中，学习效率也就随之提升了。

三、类比同类内容，打造高效课堂

平面角范文篇8

课堂教学是一项复杂的活动，是预设与生成的矛盾统一体．课堂教学要完成一定的任务，需要落实多维教学目标，只有充分预设，才能临场不乱，才能达到预期的教学效果．因此，教师课前要充分备课，但这个预设不是单向的、封闭的，而是为了生成，是达到教学最优化的基础，任何没有预设的课堂都是杂乱无章的．同时教学又是动态的，是师生相互交流、互动的过程，教师预设课堂不是要限制课堂的生成，而是为了促进、引导生成，使生成更具有方向性．因此教师备课时应充分挖掘教材中可生成的资源，深入理解教学内容，这是课堂生成的基础．预设与生成是相辅相成、和谐统一的关系，预设是生成的基础，随着课堂教学的进行需要不断地调整预设，生成大都是预设的生成，是预设的更高境界．教师课前预设做得好，设计的方案越多，面对真实的教学情境越能自如地应对，生成会更精彩．如教学“圆柱体的体积”时，教师要充分考虑学生实际，预设两种方案:一是对已经知道圆柱体体积计算公式的学生，考虑到高中生有探究问题的能力，设计如何引导学生探究公式的来源;二是对不知道计算公式的学生，如何引导学生自主探究．教师备课时只有尽可能考虑各种可能，才能做到运筹帷幄，决胜千里，才能为生成打下基础．随着新课改的深入，教师备课不仅要了解课程标准，钻研教材，还要备学生，掌握学生学情．教材是课堂教学的载体，教师要深入研读，将课本知识内化为自己的知识，再结合自己的风格设计教学方案．同时课堂又是师生互动的过程，了解学生的学习水平、思维能力，预测学生可能会提出的问题、出现的错误、探究中可能会出现的偶然性问题，这些都是教师备课时应该考虑的．只有深入了解学生，预测课堂动向，制定多种应对方案，才能使课堂生成打下基础．

二、敏于发现，激发生成

具有生命力的课堂总是在动态中生成的，教师要敏于发现，及时捕捉一些隐性信息和动态信息，这些信息对教学来说有积极的一面，也有消极的一面，教师作为课堂教学的组织者，要不断地发现、捕捉从学生那里涌出来的信息，迅速判断哪些能促进教学，哪些是偏离教学目标的，从而激发生成，让生成为教学服务．课堂教学中对学生与众不同的见解、独特的想法、甚至错误的解答，都要给予及时的鼓励与引导，切忌排斥打压．教师要敏于发现教学中生成的有价值的信息，并使之纳入到教学活动，将一些“偶然”变为新的教学资源．同时教师要充分利用自己的教学机智，抓住学生思维的亮点，顺应学生的思维发展，最大限度地达成目标，从而肯定学生的独特想法，宽容学生的错误观点，激活学生思维．如教学“等差数列前n项和公式”时，教师原本想让学生运用“倒序相加”的方法推导公式，不料课堂中有学生先说了自己的想法:能不能把等式sn=a1 a2 a3 … an－1 an右边的首尾两两配对后求和?对学生提出的看法，教师发现了生成资源，没有直接给予否定，而是顺着学生的思维走，给学生自己尝试、探究的机会．学生讨论、探究后，有学生指出:这样计算会有问题，不能确定首尾刚好能搭配完，中间会不会剩一项?教师顺着说:能否想一个办法解决这个问题呢?思考了一会儿，有学生指出:可以把公式中的n分成奇偶数来算．教师鼓励学生尝试算算，学生很快都能算出来．教师对学生提出的分奇偶思想给予充分肯定，那请同学们再思考一下，有没有统一的方法呢?学生把分奇偶得出的公式整合到一起，很快就得出了sn=n(a1 an)2．然后教师指出，这就是我们所说的“倒序相加法”，是非常重要的数列求和方法．

三、适时调整，呵护生成

课堂生成是动态的，预设不是一成不变的，再好的预设与课堂教学也会存在一定的差距，这需要教师发挥教学机制，适时调整教学计划，将预设与生成有机地结合起来，随时把握教学中的闪光点，生成新的教学方案．一些教师为了赶进度，常会忽视课堂教学中出现的不同的声音，坚持按照自己的计划走，这不利于学生创新思维的提升．而一些教师面对课堂上不同的声音，适时调整教学方案，有的甚至放弃原来的教学预设，生成新的生成资源，使教学充满生机与活力．如教学“二面角”时，教师解释“二面角的平面角”概念后，让学生用二面角的模具画出它的平面角，学生纷纷动手画起来．学生画完后教师让学生讲解、展示自己的作品，学生很是高兴，纷纷展示起来．其中有一名学生的画作与教师的预测不一致，他画出的平面角的顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内，但角的两边与棱不垂直，对这名学生的画法教师不给出对错评论，而是适时调整预设，巧妙运用这一生成资源进行指导，问学生:为什么角的两边一定要与棱垂直呢?学生陷入思考，学生思考后教师引导学生用量角器、活动角来变化角与二面角的棱的位置关系，找出这些角的变化规律，在反复的观察、操作中，学生发现了规律，终于认识到我们用一个垂直于二面角的棱的平面去截两个半平面，与半平面的交线是由两条射线组成的平面角大小确定的，当随意用一个平面截两个半平面时，难以确定交线组成的平面角的大小，学生也就弄明白了为什么角的两边一定要垂直于棱．课堂上的生成资源，在教师的呵护下，不断地激发学生的思维火光，激发学生的学习热情．学生在反思中不断地修正自己的看法，在探究中不断地生成，从而深刻地理解所学知识．

四、鼓励质疑，创造生成

平面角范文篇9

[关键词]现代教育技术整合情境促进数学教学

1.引言

当我们步入21世纪时，以计算机和网络为核心的现代技术的不断发展，正在越来越深刻的改变着我们的生活、工作和学习方式；同时以建构主义学习理论和认知主义学习理论为代表的现代教育理论的蓬勃发展和广泛传播，以及新课程标准的实施，使我国基础教育特别是高中教育面临着难得的发展机遇，也面临着严峻挑战。如何运用现代教育技术，提高教育教学质量，就成了我们探讨和研究的一个重要课题。

简单的说，现代教育技术主要指现代教育媒体和现代教育理论在教育中的运用。李克东教授根据我国国情，结合美国教育技术学会（aect）的1994年新定义，给出了更为全面的说明，即：“现代教育技术是指运用现代教育理论和现代信息技术，通过对教与学过程和教与学资源的设计、开发、评价和管理，以实现教学最优化的理论和实践。”本文笔者结合自己的实践与思考，就如何运用以现代信息技术为依托，以现代教育与心理学的理论为基础的现代教育技术来优化高中数学教学，做了一些初步的研究。

2．实践与思考

2．1运用现代教育技术整合数学课程内容，使教材“活”起来

由于教学大纲和教材编写的限制，当今世界上最鲜活的、具有明显时代特征的数学学科教学素材和教学内容很难在教材中反映出来。华罗庚曾经说过，对数学产生枯燥乏味、神秘难懂的印象的主要原因就是脱离实际。其实，数学本身就是一门与生活联系比较紧密地学科，不同的是，学生所要学习的知识是人类几千年来积累的直接经验，它具有较高的抽象性，要使他们理解性的接受、消化，仅凭目前课堂上教师的口耳接受是够的，还应充分利用信息资源跨越时空界限的特点，将信息技术融合到高中数学课程教学中来，充分利用各种信息资源，引入时代活水与高中数学教学内容相结合，创设出多种教学情境，使学生的学习内容更加丰富多彩，更具有时代气息，更贴近生活，使教材“活”起来，从而有效的促进教师的教和学生的学。

（1）创设真实情境，激发学生学习数学的兴趣与好奇心

建构主义学习理论强调创设真实情境，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为数学设计的最重要内容之一。而多媒体技术正好是创设真实情境的有效工具；如果再与仿真技术相结合，则更能产生身临其境的逼真效果。

个案1、对于高中数学新教材三角函数y=asin(wx ∮) k的图象随a、w、r的变化而变化一节，通过让学生接触、观察各种图象，使其意识到a、w、∮、k可能对图象有影响，进一步让学生相互合作，自主探索得出规律。教师仅仅是提供资料和建议,这可使学生的探索能力得到发展。

个案2：利用几何画板讲椭圆的定义。

打开几何画板，做一个圆心为a的圆，在圆内任取不同于a的点b，在圆上取一点c，连接线段ac、bc，做线段bc的中垂线交ac于点p，连线段pb，引导学生发现|pa| |pb|=|ca|，即圆的半径，且大于|ab|，然后让学生操作电脑拖动点c在圆上运动，得到p的轨迹——椭圆。启发学生得到椭圆的第一定义。再进行发散思维训练，当点b在圆上、圆外时，点p的轨迹是什么图形？通过这样的教学设计，不仅使学生亲自参与了对椭圆形成过程的探索，还使学生动手操作电脑，提高了学习兴趣，有利于学生数学知识的建构。

因此我认为应让学生更多地操作电脑来完成对数学知识的再发现，体验数学美的魅力。如在上三角函数的图像、“立体几何”导言课时，运用多媒体手段可以变静为动，变抽象为具体，使教学内容得到深化。再如，在教授有关“最值”和“定值”一类问题的处理时，笔者结合实际提出了一个问题：丰富的钢铁和煤炭资源促进了我市经济的发展，但环境污染问题也必须引起我们的重视。现在汶河南岸的一家煤矿和一家铁厂准备联合在河边建一座一家污水处理厂，问如何选址到两厂的距离之和最小（两厂间的河段近似看作直线）？并制作了多媒体课件指导学生来进行动态分析、思考、讨论、探索出解决问题的方法。使学生认识到了数学的实际应用，培养了学生用数形结合、转化等思想方法解决实际问题的能力和建模能力。

在实际情境下进行学习，激发了学生的联想思维，激发了学生学习数学的兴趣和好奇心，有效地降低了学生对数学的恐惧。使学生能利用自己原有认知结构中的有关经验，去同化和索引当前学习到的新知识，从而在新旧知识之间建立起联系，并赋予新知识某种意义。

（2）拓宽学习资源，通过“情境再现”，使数学教学成为再创造、再发现的教学

利用多媒体向学生展示科技发展史尤其是数学发展史，运用电脑模拟数学发现的历程，使用计算机进行数学试验，通过电脑证明数学定理，让学生通过数学问题的发现、提出、探究、解决过程的情景再现，意识到“问题是数学的心脏”，重要的问题历来就是推动数学前进的最重要的力量，进而“启发学生如何去发现问题和提出问题；并善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题。”例如，笔者在讲解解析几何内容时就通过课件《奇妙的坐标系》向学生展示了坐标系的诞生、完善及应用历程，使数学教学成为了再创造、再发现的教学。

（3）创设想象情境，拓宽思维空间，培养学生的想象能力和发散思维

贝弗里奇教授说：“独创性常常在于发现两个或两个以上研究对象之间的相似点，而原来以为这些对象或设想彼此没有关系。”这种使两个本不相干的概念相互接受的能力，一些心理学家称之为“遥远想象”能力，它是创造力的一项重要指标。让学生在两个看似无关的事物之间进行想象，如同给了学生一块驰骋的空间。人的生活中有一种比知识更重要的东西，那就是人的想象力，它是知识进化的源泉。因此，在教学中可充分利用一切可共想象的空间，挖掘发展想象力的因素，发挥学生的想象力。

例如：课本上的图形是“死图”，无法表现二次曲线的形成过程，而黑板上的图形鉴于技术原因，很难画的准确，更难展现二次曲线的连续变化，而利用多媒体就可以生动的把离心率的大小变化与圆锥曲线的形状变化，这种数与形之间的内在联系完美的展现出来。同时，也可展示出椭圆、抛物线、双曲线三种“看似不相关”的二次曲线之间的内在联系。在教学过程中，可由学生通过网络访问教师放置的服务器上的课件，让学生独立探索得出结论。

（4）创设纠错情境，培养学生严谨的逻辑推理能力

“错误是正确的先导”，学生在解题时，常常出现这样或那样的错误，对此我针对学生常犯的隐晦错误利用现代教育技术，创设纠错情境，引导学生分析研究错误的原因，寻找治错良方，在知错中改错，在改错中防错，以弥补学生知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷，提高解题的准确性，增强思维的严谨性。例如：学生常常想当然的把平面几何的有关性质照搬到立体几何中，教师在黑板中很难表示清楚，我利用几何画板设计并创作了“边对应垂直的两个角”的课件，让学生自主探索，自己纠错，就收到了良好的效果。

2．2运用现代教育技术，使教师的教学方式活起来，真正体现学生主体，促进意义构建

在运用多媒体的同时，加上教师的精讲与启发，再结合学生的自主探索、质疑、问难和讨论，使学生通过身临其境的直观感受和仔细观察，从而得出正确的结论，改变了过去那种光靠教师“灌”，学生被动接受的形式，有效的激发了学生学习的兴趣；真正体现了学生的主体地位。例如：在上高二数学“二面角定义及其应用”时，利用几何画板制作“二面角定义及其应用”的课件，并将要解决的问题：“二面角概念”、“怎样度量二面角的大小”、“二面角的平面角的概念”、“如何作二面角的平面角”、“如何求二面角的平面角的大小”、“已知二面角的大小，山路与水平面的角，和山路与山脚所成的角中的两个，如何求第三个？”、“解决折叠问题的方法和规律是什么？”等隐藏在精心设计的、循序渐进的教学情境中，让学生独立探索，并通过实验猜测推导论证，由学生在个人自主探索的基础上，开展小组讨论协商，教师帮助学生共同完成以上问题，并加以整理，然后教师启发性的回答、解决学生的问题。这样就进一步完善和深化了对主题——“二面角的概念及其平面角的求法”的意义建构，既有效的解决了教学中的重点，又突破了难点，优化了教学过程，丰富了教学形式，提高了教育质量。

再如：笔者在上高一数学y=asin(wx ∮) k的图象时，利用多媒体技术，制作好课件，在教学中让学生分别拖动、控制a、w、∮、k等调数棒，自己观察、探索、讨论，教师再适当点拨，就可由学生自己得出结论，并不需要教师象传统教学中那样做滔滔不绝的讲解，而学生的理解与掌握反而比传统教学要深刻的多。

2．3运用现代教育技术，促进学生学会学习

（1）运用现代教育技术，促进学生形成良好的学习心态。

利用现代教育技术的形象化和多样化，把学科内容与优美的艺术形式结合起来，展示给学生，引起学生的兴趣和注意，增强学生的求知欲，并创造条件，逐步促进各种非智力因素的发展，帮助他们克服畏难情绪，激发学习积极性，增强学生学习的信心和勇气，使这些非智力因素转化为学生学习的动力，发展并形成良好的学习心态，以满足他们学习和身心发展的需求。

（2）在促进知识的迁移，形成新的知识结构过程中，选用适宜的电教媒体促进学生学会学习。

心理学认为，迁移的实质是概括，迁移是灵活的运用知识的基础，在教学中教师通过选择和设计内在逻辑联系密切，便于加强比较，便于进行概括的多媒体课件，促进学生知识的迁移，由于有序地提供合适的电教媒体作为思维材料，学生有了正确的思维方向，运用“迁移”认识了知识之间的内在联系，推导出新的知识，建立新的知识结构，同时学会了迁移的学习方法。

（3）在不同的课型中，依据教学目标，选用适宜的电教媒体，促进学生学会学习。

例如，在概念教学中，以相关知识为载体，运用电教媒体揭示概念本质，引导学生学会抽象、概括的学习方法，便于深刻理解概念。笔者在上《函数单调性》一课时，运用课件第一次演示，帮助学生直观的感受单调性的概念，再次使用时，帮助学生理解单调性概念的本质。在两次使用多媒体课件的过程中，引导学生掌握抽象、概括的学习方法。

3．问题和对策探讨

任何事物都有其两面性，我们在感慨现代教育技术给数学所带来的种种益处的同时，也不能不注意它的负面影响。

3．1影响师生情感交流

“情感能左右注意力对智力活动的引导，能影响对输入信息的反应。”教学过程同时也是师生情感交流的过程。而在多媒体教室上课，由于教师要求操作各种机器设备，且教学内容大部分是由机器呈现，客观上减少了师生间的直接交流，再加上光线等原因，学生的情感体验也就易被忽视。这必然在一定程度上影响了学生对知识的吸收。因此，在进行多媒体教学时，更要注重教学设计，要充分考虑学生的需要，要尽量创造机会使学生获得成就感，要设法帮助学生排除心理障碍，提高自学能力，树立信心。

3．2警惕认知交流中的“多媒体霸权”

由于缺少合适的网络课件和工具平台，缺乏专家和相关的理论指导，易导致教师的精神被多媒体所操纵，学生的思维被多媒体所束缚，师生共同成为被多媒体牵着鼻子走的人。因此教师必须加强现代教育理论、现代计算机知识与技能的学习和探索，转变教育理念，让学生成为学习的主人，不要让媒体成为辅助教师向学生灌输的工具，教材成为灌输的内容。

3．3影响学生身体健康

由于多媒体教室光线昏暗，加之长时间盯看投影屏幕，学生易产生头晕、眼睛疲劳等不适感觉，时间长了就会导致注意力分散，甚至影响身体健康。因此，进行多媒体教学必须注意适时、适度等原则。要考虑教学内容和学生实际，要从有利于更好的突出教学重点、攻破教学难点；有利于帮助学生更快的构建新的认知结构；有利于取得更好的教学效果的角度考虑，当用则用，不当用则不用。

总之，现代教育技术能够变革课堂教学的传递结构，扩展信息功能，增加个别化教学的能力，优化教学；但也要注意，现代教育技术也不可能解决教学中的所有问题，因此夸大其作用，试图以此盲目代替传统教学的做法是不现实的，在未来的教学当中，现代教育技术必将得到进一步的应用；但现代教育技术的运用不能无节制，要与常规教学相结合，要以促进教学过程的优化为重点，设计好媒体使用的强度和时机。当然，这还需要我们在今后的教学实践中，继续去探索和完善。

参考文献

[1]郭琴信息技术对现代教育的影响j.电化教育研究2000

[2]何克抗现代教育技术m..北京：北京师范大学出版社1998

[3]栗亚东论计算机多媒体技术的发展与现代课堂教学的应用j.中小学电教2000

[4]刘电芝学习策略研究北京：人民教育出版社1998

平面角范文篇10

路基顶部以下0～30cm的精加工层是否平整将直接影响到基层和面层的质量，从而影响到整条公路的质量，控制好路基精加工层的平整度对道路的美观、行车的平稳性、乘客的舒适度都有重要的意义。下面就对路基精加工层施工过程中控制平整度所采取的技术措施作简单介绍。

1.1施工准备

在施工前做好充足的准备工作，首先要选择好材料，检测其含水量和干密度，符合规范设计要求才可以使用。其次，测量人员要计算好每层精加工层的高程，设计好桩位，逐桩测量，得出每个桩位的填土高程。最后，组织好机械设备，配备精平人员，选用经验丰富的平地机工作人员。

1.2施工过程

做好准备工作后开始进行施工，先将填料运送至施工现场，要根据平地机的工作效率按工作量将填料堆放到离施工现场约0.5km处的地方，根据填料的松散系数得出具体卸料的位置。施工时，挖掘机、装载机、自卸汽车、推土机、平地机等器械要配合作业，先用推土机初平，然后用平地机进行粗平，这时，要根据土的松散程度调整好铲刀的倾斜角和平面角，如果土质松散，平面角可以调得适当大一点。在土料基本推平之后，再次调整平面角至65°左右，从高到低顺直侧向移动土料做出路堤。经过初平之后，用压路机静压一遍，再次测量各个标高，根据设计高程按桩位依次挂线，然后适当减土或填土使之达到设计要求。然后进行精平工作，根据相关规范要求打好标高桩，施工人员调整好平地机的工作角度，从中桩开始将土直移和侧移，这时要注意，每刀切入不要太厚，2～3cm左右最好，根据实际情况掌握好刮刀的升降，动作幅度不要太大。最后快达到标高时，平地机要走直线将土直移，适当调整刮刀角度操纵好刮刀的升降，直到达到标高位置。在此过程中，测量人员也要逐个桩位进行测量，根据测量结果实时采取措施，保证路基的基本平整。压路机碾压是路基精加工的重要环节，它保证了路基的压实度。碾压前控制好含水量不要超过最佳含水量的2%，碾压时要控制好碾压时间和压路机的速度，先慢后快，先弱振动后强振动碾压，先边缘后中间。反复碾压直到符合要求。然后，对局部凹凸处进行处理，凹点处可以人工翻动再补铺碾压，凸点处可以人工或利用平地机削平碾压。最后，每完成精加工层的一层和一段后，都要进行洒水养护，保证路基质量。

2水泥混凝土路面平整度控制

高速公路路面的平整度将直接影响到公路的使用性能，决定着行车舒适性、乘客安全性和车辆的行驶速度。如果不能保证路面平整度符合标准，会严重制约高速公路的性能发挥，因此，在施工过程中必须严格控制好路面的平整度，尤其是水泥混凝土路面，对施工质量的要求尤为严格。下面简单提出了水泥混凝土路面施工影响因素并提出了改善措施。

2.1水泥混凝土路面平整度施工影响因素

首先，如果不严格控制水灰比的比例，会影响到混凝土拌合料的坍落度，坍落度过低的混凝土将会导致人工抹平的不均匀，而对于坍落度过高的混凝土将会导致表面出现过多的浮浆，抹平后会出现一些模印。这样都会造成水泥混凝土路面的不平整。其次，混凝土的振捣也是其关键影响因素，如果振捣不实或是振捣过度都会给施工带来一定的困难，还要保证振动梁的刚度，避免因刚度过弱导致水泥混凝土路面出现中部凹凸不平的现象。除此之外，还好准确控制好调配料的计量，以避免骨料和水泥成分比例不均匀而引起的水泥混凝土的密实度不均匀，从而导致路面的平整度较差。在保证了水泥混凝土材料的合格之外，在施工过程中，设置横隔板时要架设稳固，横隔板的标高和连接处要与设计要求一致，不能有一丝一毫的差错。由于混凝土铺筑需要机械或人工抹平，这部分的施工强度大难度高，再加上模板控制不到位，都会影响到水泥混凝土路面的质量。最后，路面施工缝和膨胀缝的优劣性对路面平整度和工程质量有着较大的影响。这些影响因素在路面施工工程中一定要引起高度重视。

2.2提高水泥混凝土路面平整度的施工控制措施

1）采用真空吸水工艺，然后用抹光机抹面修整，这样既能抹平压实路面，又能增强路面的抗裂性和耐磨性，最后用人工加机械搓刮消除抹光机造成的棱角，修整那些不平整的地方。

2）采用压纹处理，这道工序既可以起到向下压实的作用，又能提高路面的耐磨性。施工时注意控制好压纹工序的时机，最好在混凝土表面不出现浮浆并轻微坚硬的时候进行压纹。压纹过早会产生严重带浆现象，压纹过迟则会导致路纹的深度不够，压纹过早或过迟都会影响到路面的平整度。压纹过后，混凝土路面可能会出现毛刺，需要用工具横向挂磨掉这些突出的部分。